Dvojni integral
Iz E-študij, proste zakladnice študentskega znanja
Imamo funkcijo dveh spremenljivk, ko jih povežemo skupaj dobimo ploskev. Informacijo o prostornini pod to ploskcijo pa nam daje dvojni integral.
- Ponovitev
- Integral
Podobno definiramo tudi dvojni integral:
- Naj bo f funkcija dveh spremenljivk x in y zvezna na območju D v ravnini
- Območje D razdelimo na parcele Ω, ploščine parcel označimo z pl(Ωkj). Na vsaki parceli Ωk si izberemo poljubno točko (xk,yj). Vsoto
Če parcele drobimo (stevil večamo, pri čemer gredo vse parcele proti 0), potem v limiti, ko gre število parcel n proti 
, pravimo da je integralska vsota enaka prostornini pod ploskvijo f(x,y) na območju D.
- Res
- Naj bo m mimimum funkcije f(x,y) na zaprtem območju D in M maksimalna vrednost.
- Če ne vsaki parceli izberemo minimalno vrednost funkcije f na tej parceli (označimo mi) in maksimalno vrednost označimo Mi), potem dodimo
- Imamo padajočo omejeno navzdol in naraščajočo vsoto omejeno navzgor.
Uporabimo pravilo zveznosti in dobimo, da vsota konvergira.
- Definicija
- Limito integralske vsote imenujemo dvojni integral funkcije f po območju D in označimo
Dvojni integral izračunamo s pomočjo dvakratnega integrala
Prevedba na dvakratni integral
Oglejmo si prevedbo dvojnega integrala na dvakratni integral v posebnem primeru
←(to je integral s parametrom)
Parameter pa je v splošnem funkcija, torej:
- Primer
Pri nekem fiksnem x-u, se y spreminja od 0 do 
.
- Primer
- Območje: (slikca)
se ne da izrazit z elementarno funkcijo.
- Opomba
Včasih je zelo pomembno kakšen vrstni red dvakratnega integrala si izberemo. V naprej tega ne vemo.
