Dolžina krivulje

Krivulja je dana v eksplicitni obliki:

y = y(x)

Zanima nas dolžina krivulje med a in b.

Dolžino izračunamo tako, da izračunamo dolžino krivulje v zelo kratkih intervalih, kjer poteka praktično linearno, ter te dolžine seštejemo.

Uporabimo pitagorov izrek in izračunamo dolžino hipotenuze v pravokotnem trikotniku.

Lagrangeov izrek

Primeri

Primer 1

Izračunamo z inverzno funkcijo

rezultat nas ne zanima, ker bi ga bilo pretežko izračunati :D

Primer 2

Izračunaj dolžino loka cikloide.

x = a(1 − cost)
y = a(t − sint)

Dolžina loka je 8a, dolžina

Polarna oblika

Računanje dolžine loka krivulje podane v polarni obliki:

x = f(t)
y = g(t)

Primer

Kardioida

Določi dolžino loka kardioide.