Analiza vezij

Uvod

Analiza je raziskava elektronskih lastnosti vezij oz. določitev vseh tokov in napetosti.

Linearno vezje

sestavljeno iz samih linearnih elementov.

Linearni element

zveze med i,u so linearne, iz česar sledi, da so pri obravnavi same linearne enačbe, to pa ima za posledico enostavno računanje (nastopajo le operacije +,-,:,*).

Obstajata dva važna primera linearnih vezij:

• pri enosmernih signalih so R vezja - sestavljena le iz R in enosmernih generatorjev
• pri harmoničnih signalih so RCL vezja - sestavljena le iz elementov R, C in L ter harmoničnih generatorjev. (rešujemo po enakih postopkih kot R vezja, če jih opišemo z impedancami)

Linearna vezja pri enosmernih signalih

DC - "direct current" - časovno konstanten tok
uporabljamo I, U
pri reševanju uporabljamo sledeče teoreme / zakone :

KIRCHHOFFOV NAPETOSTNI ZAKON (KNZ)

Vsota vseh napetosti v katerikoli zaključeni zanki vezja je vedno enaka 0.

• Razlaga

Če je pot zaključena (pridemo nazaj v isto točko), je napetostna razlika enaka 0.

• Dogovor o predznaku U_k

izbor smeri obhoda in oznake +,- je poljuben, a se ga je nato treba držati.

npr.: če pri izbranem obhodu vstopamo v k-ti element pri negativnem polu napetosti, naj ima v vsoti U_k negativen predznak, sicer pozitivnega.

• Primer: zaporedna (serijska) vezava uporov

in el. ekvivalent

KNZ (v smeri urinega kazalca, ++) − Ub + U1 + U2 + U3 = 0 alternativna oblika KNZ (generatorji in bremena vsak posebej) Ub = U1 + U2 + U3 oz.

• Ekvivalentna serijska upornost:

ugotovim, da skozi vse upore teče isti tok I, iz česar po Ohmovem zakonu sledi

U_k = I * R_k = I * (R₁ + R₂ + R₃) = I * R_eqs in

KIRCHHOFFOV TOKOVNI ZAKON (KTZ)

v katerem koli vozlišču vezja je vsota tokov enaka 0

Vozlišče

stičišče več vodnikov

• Razlaga

v vozlu naboj ne more niti nastati niti izginevati, zato mora biti bilanca tokov enaka 0 (kolikor noter, toliko ven)

• Dogovor o predznaku I_k

če I_k teče v vozel, naj ima v vsoti pozitiven predznak ('+'), sicer negativnega ('-'). Lahko tudi obratno - dobimo isto enačbo, pomnoženo z -1.

KTZ (v smeri urinega kazalca, ++): + I₁ − I₂ + I₃ − I₄ + I₅ = 0

• Primer: vzporedna (paralelna) vezava uporov

  in el. ekvivalent

  KTZ I − I1 − I2 − I3 = 0 alternativna oblika I = I1 + I2 + I3 oz.

  • Paralelni ekvivalent

    na vseh R_i je ista napetost, iz česar sledi

    in

    

  • Primer: 2 paralelno vezana upora

    in el. ekvivalent:

    

  Serijska paralelna redukcija

  S pomočjo paralelnih (serijskih) uporov lahko poljubno R vezje vedno poenostavimo v en sam nadomesten / ekvivalenten upor

  Primer: S serijsko (paralelno) redukcijo določi tok I v danem R vezju:

  upora R₂ in R₃ nadomestimo z R_eqp23, R₄ in R₅ pa z R_eqs45

  po prvi redukciji

  	Reqs45 = R4 + R5

  po paralelni redukciji

  

  po serijski redukciji (končna nadomestna vrednost uporov)

  R_eqs = R₁ + R_eqp

  
  

  Princip superpozicije

  Uporabimo pri reševanju linearnih vezij z več neodvisnimi izvori.

  Postopek

  1. analiziramo vezje (določimo I, U) za vsak izvor posebej - pri tem vse ostale izvore izničimo. Napetostni generator nadomestimo s kratkim stikom, tokovne pa z odprtimi sponkami.
  2. seštejemo (superponiramo) prispevke tokov in napetosti vseh posameznih izvorov in tako dobimo rešitev.

  Razlaga

  V linearnem vezju vsak neodvisen izvor deluje neodvisno in lahko prispevke seštevamo.

  Primer

  R vezje z enim napetostnim in enim tokovnim izvorom.
  

  Reševanje

  1. prispevek napetostnega generatorja

     tokovni vir zamenjamo z odprtimi sponkami, dobimo:

     

  2. prispevek tokovnega generatorja

     napetostni vir zamenjamo s kratkim stikom (žica), dobimo:

     

  Theveninov teorem

  Pravi, da lahko vsako linearno dvopolno vezje nadomestimo z zaporedno vezavo napetostnega generatorja in upora.
  
  
  
  Pri tem je:

  U_th - Theveninova napetost

  napetost na neobremenjenem vhodu vezja (ne teče noben tok na vhodu, I = 0 oz. bremenska upornost na vhodu je )

  R_th - Theveninova upornost

  upornost vezja na vhodu, kadar so vsi generatorji izničeni.

  Nortonov teorem

  Je analogija Theveninovega teorema s tokovnim generatorjem. Pravi, da lahko vsako linearno dvopolno vezje nadomestimo s paralelno vezavo tokovnega generatorja in upora.
  
  
  
  

  I_n - tok Nortonovega tokovnega generatorja

  kratkostični tok vezja (U = 0 oz. R_br = 0; kratek stik na izhodu)

  R_n - Nortonova upornost

  velja enaka definicija kot pri Theveninovem teoremu - obe sta med seboj enaki
  

  Metode reševanja vezij

  Za vezje, ki je podano z opisom vseh elementov (karakteristika i(u)) in njihovimi povezavami (el. shema), je treba določiti vse toke in napetosti. Obstajajo različni pristopi in metode (metode z zanko, vozlišči, vejami,...)

  Osnovni pojmi

  
  

  Vozlišče 

  stičišče 3 ali več vodil

  Veja 

  pot med dvema vozloma

  Zanka 

  zaključen obhod po vezju

  Zančna metoda

  Primerna je za kompleksnejša vezja (glede na obseg), ker obstoja posplošeni matrični zapis. Tu so osnovne neznanke, ki jih najprej določimo, toki zank. Nato lahko določimo še ostale napetosti itd.
  Primer:
  

  Neodvisna zanka 

  vsebuje vsaj en element, ki ni vsebovan že v drugi zanki

  Postopek

  1. vezje razdelimo na neodvisne zanke: 1,2. Vsaki zanki pripišemo nek tok: I₁, I₂. Izbor je prost, vendar se ga je potem treba držati. I₁ in I₂ sta osnovni neznanki primera, zato rabimo 2 enačbi.
  2. označimo napetosti na elementih (+,-); izbor je prost.

  Potek: skozi skupni element zank 1 in 2 (R₃) teče tok I₁ − I₂ in je zato napetost

  1. zapišemo KNZ za zanke
     1. − U₁ + I₁ * R₁ + (I₁ − I₂) * R₃ = 0
     2. (I₁ − I₂) * R₃ + I₂ * R₂ + U₂ = 0

  in rešimo sistem 2 enačb z dvema neznankama.

  Posplošitev zančne metode na vezje z n zankami

  na primer, n=3: ker se že tu vidi princip posplošitve
  

  zaradi preglednosti upore označimo s črkami, zanke pa s številkami

  Postopek

  1. razdelimo na zanke, označimo toke
  2. označimo napetosti na elementih
  3. zapišemo KNZ za vse neodvisne zanke (dogovor: v smeri urinega kazalca, ++)

  KNZ₁ : − U_a + R_A * I₁ + (I₁ − I₂) * R_B = 0

  KNZ₂ : − R_B * (I₁ − I₂) + R_C * I₂ + R_D * (I₂ − I₃) = 0

  KNZ₃ : − R_D * (I₂ − I₃) + R_E * I₃ + U_b = 0

  enačbe uredimo po neznankah (I₁, I₂, I₃); izvore damo na desno stran:

  1. (R_A + R_B) * I₁ − R_B * I₂ + 0 * I₃ = U_a
  2. ( − R_B) * I₁ − (R_B + R_C + R_D) * I₂ + ( − R_D) * I₃ = 0
  3. (0) * I₁ + ( − R_D) * I₂ + (R_D + R_E) * I₃ = − U_b

  in nato zapišemo v matrični obliki:

  

  Posplošitev

  v splošnem so elementi matrik določeni s pravilom:

  • za R_ij:
    • členi po diagonali (i=j)

  Vsota vseh uporov v zanki, skozi katere teče pripadajoči tok.

  Primer: R₁₁: I₁ − > R_A + R_B

  • • členi izven diagonale (i != j)

  Simetrična po diagonali, kar pomeni, da velja: R₁₂ = R₂₁

  Člen je vsota vseh skupnih upornosti, skozi katere tečeta I₁ in I₂ hkrati. Predznak je '+', če sta toka vzporedna in '-', če tečeta v nasprotnih smereh.

  • za U_j:

  U₁ = vsota vseh generatorjev napetosti v zanki 1, ki poganjajo tok I₁.

  Predznak je '+', če tok izstopa iz '+' in je '-', če tok izstopa iz '-'.

  Dobimo n enačb za n neznank, tako da sistem rešimo s katerim od pravil za reševanje takih problemov (npr. Cramerjevo pravilo)

  
  

  Prehodni pojavi v vezjih

  Ko je vse direktno odvisno od časa (t): i = i(t). Temu pravimo, da rešujemo v t-prostoru (časovni prostor)

  Opis tipičnega prehodnega pojava

  Vsaki spremembi v vezju (npr.: sprememba amplitude izvora, sprememba elementa \DeltaR, \Delta C, \Delta L) sledi neko prehodno obdobje, v katerem prehajajo vrednosti električnih veličin v vezju od začetnih proti končnim ravnovesnim vrednostim.

  Slika: Prehodni pojav

  

  Postopek reševanja

  1. Zapišemo osnovne enačbe elementov (osnovne i(u) zveze, za R, C, U, I)
  2. Zapišemo osnovne enačbe vezja (KNZ, KTZ, ...)
  3. Iz 1.) vstavimo enačbe v 2.) in dobimo diferencialno enačbo problema.
  4. Rešimo enačbo po osnovnih metodah.

  Primer

  Praznjenje kondenzatorja skozi upor
  in pripadajoči graf (i,u v času)
  enačba za to je: , kjer je τ_RC = RC

  Vzpostavljeno iz »http://www.e-studij.si/Analiza_vezij«