Fourierova transformacija

Uvod

Linearna vezja 

tista, ki kažejo linearne zveze med I,U -> RCL vezja. Gre za razširitev na periodične nesinusne signale.

Periodični nesinusni signal

nesinusna oblika, ki se periodično ponavlja Primer:

• žagasti napetostni signal
• pravokotni signal (osnovna nesinusna oblika)

matematična analiza pokaže, da lahko periodične nesinusne signale zapišemo kot neskončno vsoto sinusnih in kosinusnih signalov (=Fourierova vrsta)

Razvoj periodičnih nesinusnih signalov v Fourierovo vrsto

Uvod

Analiza

razgraditev celote v osnovne dele

Sinteza

sestavljanje celote iz posameznih delov (obraten proces od analize)

Izrek

Vsak periodični nesinusni signal, ki izpolnjuje Dirichletove pogoje, lahko zapišemo v obliki Fourierove vrste (= neskončna vsota sinusnih in kosinusnih signalov)

Dirichletovi pogoji

So zahteve, da ima signal v 1 periodi končno število nezveznosti in ekstremov ter končno povprečno vrednost -> večina običajnih signalov to izpolni, zato jih razvijemo v Fourierovo vrsto.

Osnovni integrali sinusa in cosinusa

Naj bo

• 
  • 
  • 
• mešani produkti:
  • 
• istovrstni produkti:
  • 
  • 
• obstaja le ena izjema, ko m=n:
  • 
  • 

Te relacije ostajajo le na vsakem drugem intervalu dolžine 1 perioda (T = 2Π). To v matematiki pomeni: sistem kosinus, sinus je ORTOGONALEN

Fourierova trigonometrična vrsta

Določitev Fourierovih koeficientov a_n, b_n

Fourierova vrsta s fazo

Fourierova vrsta s cos členi

Fourierova vrsta s sin členi

Eksponentna Fourierova vrsta

Fourierova sinteza signalov

Postopek za analizo linearnih vezij pri periodičnih nesinusnih signalih s Fourierovo vrsto

Uvod

Tukaj združimo idejo Fourierove vrste (neskončna vrsta sinusnih in kosinusnih signalov) ter idejo impedance, da pridemo do rešitve.

Postopek

1. Vzbujanje (periodičen nesinusni signal) razbijemo v Fourierovo vrsto (npr. vsota sinusnih in kosinusnih signalov)
2. Izvedemo analizo vezja v F-prostoru (z impedancami), za vsako harmonično komponento posebej in določimo še pripadajoči odziv v t-prostoru.
3. Celotni odziv vezja določimo po principu superpozicije, kot vsoto odzivov posameznih harmonskih komponent.

Primer

Popačitve signalov pri prenosu po linijah

Uvod

Razlaga popačitev