Analiza linearnih vezij pri harmoničnih signalih

Analiza linearnih vezij pri harmoničnih signalih

Uvod

harmoničen signal

vsebuje sin, cos časovno (t) odvisnost

linearno vezje

sestavljeno iz samih linearnih elementov (opisano na vrhu strani)

R-C-L vezja pri harmoničnih signalih so linearna vezja

Opis harmoničnih signalov

Zapis harmoničnih signalov s časovno odvisnostjo

Primer: u(t) = U_m * cos(ω * t + Θ)

• U_m - amplituda (največja vrednost)
• ω - kotna hitrost [rd/s]

zveza med rd in °: 2*Π rd = 360° -> 1rd = 57.3°

v praksi je pogosto podana frekvenca (stevilo nihajev v sekundi) namesto kotne hitrosti

, kjer je T perioda(nihajna doba) [s^-1] = [Hz]

ω = 2Π * f

• Θ - faza (signala) oz. fazni kot

predznak določa premik signala: Θ > 0 -> premik signala v levo; in analogno za Θ < 0

pri Θ = 0 je graf sinusen, pri Θ > 0 pa prav tako sinusen vendar zamaknjen nekoliko v levo (prehiteva)

Zapis harmoničnih signalov s kompleksorjem - kazalcem (phasor)

Gre za zapis signala v kompleksni obliki.

Definicija

u(t) = Û * e^{j*w*t}, kjer je kompleksor Û=U_m*e^j*θ. Kompleksor Û vsebuje informacijo o amplitudi in fazi. Vsa časovna odvisnost pa je v členu e^jωt

Grafična predstava kompleksorja

množenje  z e^jωt pomeni rotacijo  za kot ωt

graf

Določitev trenutne vrednosti u(t) iz slike rotirajočih kompleksorjev

Trenutna vrednost signala u(t) je realni del rotirajočega kompleksorja; je projekcija rotirajočega kompleksorja na realno os.

Dva primera:

1. Podan je cos zapis harmoničnega signala, u(t) = 150V * cos(500t + 45). Določi pripadajoči kompleksorski zapis:
   1. , Θ = 45°
   2. u(t) = Û * e^jωt

   Û=U_m * e^jΘ = 150V * e^{j * 45'} = 150V 45°

   u(t) = Û * e^{j * 500t}

2. Podan je kompleksorski zapis harmoničnega signala, u(t) = Û * e^{j * 500t}. Določi pripadajoči cos zapis:
   1. Določimo U_m = 150V,ω = 500inΘ = 45'
   2. u(t) = U_m * cos(500t + 45')

Zapisi kompleksorja

• g r a f
• Ortogonalna oblika (v koordinatnem sistemu po komponentah)

Û = Um * cosΘ + j * Um * sinΘ

• Eksponencialna oblika (sledi iz zgornje enačbe, ob upoštevanju Eulerjevega izraza)

Û = Um * ej * Θ

• Polarna oblika

Û = Um,Θ

Vsak zapis ima svoje prednosti:

• Polarna - hitro risanje in predstava

• Eksponencialna - množenje in deljenje

  Û₁*Û₂

  Û₁:Û₂

• Ortogonalna - seštevanje in odštevanje

  Û₁+Û₂

  Û₁-Û₂

Ekvivalenca kompleksorskega in kosinusnega zapisa

• Podajata isto informacijo
• Û

  

  uporabimo pravilo: e^jφ = cosφ + j * sinφ

  u(t)= realna vrednost, zato nas imaginarni del tu ne zanima (ga zanemarimo). Zato vedno izhajamo iz cos zapisa signala

  

  Opomba: v kolikor imamo signal podan v sinusni obliki, ga najprej pretvorimo v cos)

Dogovor o t-prostoru in f-prostoru

• kadar resujemo vezja s signali v obliki, ki eksplicitno (direktno) vsebuje cas t (npr.: u(t) = U_m * cos(wt + Theta)), bomo rekli, da resujemo v t-prostoru.
• kadar resujemo vezja s kompleksorji i, u, ki se vrtijo s kotno frekvenco w, oz. za kot wt, bomo rekli, da delamo v f-prostoru.

Odzivanje elementov pri vzbujanju s harmoničnimi signali

Kondenzator

	imenujemo vzbujanje
	imenujemo odziv (posledica)

1. Reševanje v t-prostoru
   • dano je vzbujanje (npr.: , zaradi enostavnosti vzamemo Θ = 0)
   • določimo odziv elementa:

     uporabili smo I_m = ω * C * U_m - amplituda toka in

2. Reševanje v f-prostoru (s kompleksorji)
   • izkaže se, da je ta zelo primerna za zapis s kompleksorji
   • vzbujanje: -> Û_c=U_m, 0°
   • odziv: -> Î_c=I_m, 90°

Na kondenzatorju tok vedno prehiteva / vodi napetost za 90°.

• impedanca kondenzatorja

  je posplošitev Ohmovega zakona (U = R * I)

  Ź_c = Û / Î , kjer je I_m = ω * C * U_m

  v splošnem Z pišemo v ortogonalni obliki: Ź = R + j*X, kjer je R upornost in X reaktanca

Źc = Ûc / Îc = -j / ω*C

• določitev odziva kondenzatorja z impedanco
  1. določimo impedanco Ź_c
  2. določimo odziv (npr. pri vzbujanju z u_c)

     odziv je Î_c = Ź_c * Û_c

     če je potrebno, določimo še i_c(t) = Î_c * e^jωt = I_m * cos (ω t + Θ)

• Zaključek

  Kondenzator pri harmoničnih signalih - obstoja analogija z R pri enosmernih zadevah: v obeh primerih linearne zveze med i in u. Zato rešujemo na enak način; kondenzatorje s kompleksorji kot pri uporih. Podobno zakonitost odkrijemo pri ostalih (tuljave, upori)

Tuljava

Upor

Admitanca

definicija 

admitanca ŷ je recipročna vrednost impedance Ź

ŷ = 1 / Ź = Î / Û = [Ω ^{− 1}] = [S] (Siemens)

ŷ = G+ j*B, kjer je realni del (G), pomeni prevodnost, imaginarni del (B) pa susceptanco

Reševanje R-C-L vezij pri harmoničnih signalih (v f-prostoru / s kompleksorji)

Primer

Ugotovili smo linearne zveze med i, u nad elementi RCL v f-prostoru (Û=Ż*Î). Zato lahko RCL vezja rešujemo tedaj po enakih postopkih kot R vezja pri enosmernih signalih.

Postopek

1. Dano vzbujanje (npr. i(t) ) zapišemo s kompleksorjem: Î = I_m * e^{j * Θ}
2. Določimo impedance elementov (Ż_R=R, , Ż_L=j*ω*L). Običajno narišemo še nadomestno vezje v f-prostoru: trenutne vrednosti signalov nadomestimo s kompleksorji (i,u -> Î,Û), elemente pa z impedancami (Z)
3. S pomočjo osnovnih zakonitosti (KNZ, Thevenin, ...) določimo odziv vezja v f-prostoru

   komentar: podobno kot pri R vezjih pri enosmernih razmerah s serijsko-paralelno redukcijo določimo ekvivalenčne impedance vezja. Nato določimo odziv v f-prostoru ( Û=Ż_eq*Î )

4. Rešitev (odziv) pretvorimo še v t-prostor: Û -> u(t)=...

Primer

Določi odziv, u(t) in tok v 4. veji vezja i₄(t) za dano vezje pri vzbujanju s tokom i(t)=33A cos(ω*t - 13°).

f=1kHz L1=0,8mH R2=5Ω L2=1,4mH R3=15Ω C4=16μF

• reševanje
  1. ω = 2 * Π * f = 6,28 * 10²rd / s
  2. .

     ŻL1 = j * ω * L1 = j * 6,28 * 103 * 0,8 * 10 − 3H = j * 5Ω ŻR2 = 5Ω ŻL2 = j * ω * L2 = j * 6,28 * 103 * 1,4 * 10 − 3H = j * 8,8Ω ŻR3 = 15Ω ŻC4 = − j * / (ω * C4) = − j / (6,28 * 103 * 16 * 10 − 6F) = j * 10Ω

  3. S serijsko-paralelno redukcijo impedanc dobimo ekvivalenčno impedanco Ż_eq. Zaradi vzporedne vezave vej bomo seštevali admitance kot pri uporih.

     Ż_eq=(ŷ_eq)^{-1}, ŷ_eqŷ_i

     ŷ₁ = 1 / Ż₁, ŷ₂ = 1 / Ż₂, ...

     Ż₂ = Ż_R2 + Ż_L2 = 5Ω + j * 8,7Ω

     ŷ_eq = 0,22S (-58°)

     Ż_eq = 1 / ŷ_eq = 4,53 Ω (+58°)

  4. Û = Ż_eq * Î = 4,53 Ω (+58°) * 33A (-13°) = 150V (+45°)

     v t-prostoru: u(t) = 150V * cos(ωt + 45°)

     i₄(t): Î₄ = Û / Ż_C4 = 150V (+45°) / 10 Ω (-90°) = 15A (+135°)