Analitična funkcija

Definicija

Kompleksna funkcija f je odvedljiva v točki z₀, če obstaja limita diferencialnega kvocienta

Trditev

Za odvajanje veljajo ista pravila kot za realne funkcije.

Definicije

Funkcija f je analitična v točki z₀, če obstaja neka okolica točke z₀ v kateri je f odvedljiva v vsaki točki te okolice.

Definicija

Točka z₀ je singularna točka, če obstaja neka okolica z_0, tako da je f analitična na tej okolici razen v točki z₀.

Primer

, z = 0 je singularna točka

Primer

Ali obstaja odvod te funkcije?

Po dveh poteh smo dobili različno vrednost, torej limita ne obstaja. Funkcija ni odvedljiva in zato ni analitična.

Funkcija

je primer funkcije, ki ni analitična.

ni analitična

Kdaj pa funkcija je analitična?

Naj bo f(z) = U(x,y) + iV(x,y).

Oglejmo si limito

1.) Δy = 0

Izmerimo si še drugo pot.

2.) Δx = 0

Če hočemo, da je f odvedljiva v točki z, mora veljati:

Ta pogoj imenujemo Cauchy-Riemannov pogoj

Izrek

Kompleksna funkcija f = U(x,y) + iV(x,y) ??? je odvedljiva ??? natanko tedaj, ko velja C.R. pogoj (

V tem primeru je f'(z) = U_x + iV_x = U_y − iV_y

Naj bo f = w(x,y) + iv(x,y) analitična, potem velja ???

Unačbi še enkrat parcialno odvajamo. Dobimo

u_xx = u_xy

u_yy = − u_xy

u_xx + u_yy = 0

Δu = 0

Definicija

Če je Δw = 0 pomeni, da je u 'harmonična funkcija.

Realni in imaginarni del analitične funkcije sta harmonični funkciji.

()

Opomba

u in v imenujemo konjugirani harmonični funkciji.

Primer

u_x = v_y

u_y = − v_x